En effet, l’Académie a préconisé en 1990 une graphie de la syllabe finale des verbes du premier groupe lorsqu’il y a inversion avec le sujet je. Cela la rend conforme à la prononciation usuelle.
C’est un des éléments de la règle C1 : « Dans les inversions interrogatives, la première personne du singulier en e suivie du pronom personnel je porte un accent grave (ex. : aimè-je). » Voir l’intégralité des rectifications dans Renouvo.org
Par ailleurs, l’inversion amène un changement de prononciation du e qui précède le l : il devient sourd comme dans nous grommelons, il n’y a donc plus qu’un seul l et pas d’accent. Cela n’est pas du fait de l’orthographe rectifiée, mais le mécanisme classique de variation de la prononciation.
In fine, la forme correcte est donc grommelè-je.
NB : il s’agit là de pures questions graphiques. Ces tournures n’appartiennent pas vraiment à la langue parlée mais au discours indirect écrit. Peu importe donc leur « prononciabilité »…

Depuis 1990, je grommelle s’écrit je grommèle : tous les verbes en eler et eter se conjuguent en « è » sauf appeler et jeter ; je ne sais pas si cela a changé  pour
grommellé-je, qui pourrait donner grommèllé-je ???
De toute façon, l’ancienne orthographe est toujours en vigueur.

◇ Se conjugue comme Celer : je grommèle, je grommèlerai, selon les rectifications orthographiques de 1990.
Donc : je grommèle >  grommèlé-je 
Remarque : cette inversion du sujet n’est pas très agréable à l’oreille. Il serait préférable de l’éviter. C’est chose facile : on évite l’incise.

Merci pour toutes vos réponses !!! 🙂