Comme la traditionnelle formule de politesse des Anglo-Saxons  en fin de lettre « Sincèrement vôtre » (Sincerely yours), il s’agit là d’une expression calquée sur l’anglais et rendue populaire dans les années 1970 par une célèbre série. Cela n’empêche pas un accord « à la française » du pronom au pluriel s’il y a plusieurs signataires.
Pour mémoire, un graphe de fréquence dans les publications écrites. Ces tournures apparaissent à la fin du XIXe siècle, avec des fortunes diverses par la suite…

Que signifie amicalement vôtre ?
C’est une expression figée signifiant : je suis tout à vous, je vous suis tout dévoué de façon amicale. On l’utilise à l’écrit.
Figée ? pas au point de ne pouvoir se mettre au pluriel.
En effet, si une lettre par exemple, est écrite au nom de plusieurs personnes , vôtre devient vôtres >> amicalement vôtres =  nous vous sommes amicalement tout dévoués.

Que l’écrit s’adresse à une ou plusieurs personnes n’intervient pas dans le choix du nombre de vôtre qui  se rapporte à celui ou ceux qui écrivent .

Je suis tout à fait de l’avis de Tara, le nombre d’interlocuteurs n’a aucune incidence.
« Vôtre » signifie « à vous / tout à vous« .
S’il s’agit d’une personne que vous tutoyez, cela donne : Je suis tienne, nous sommes tiennes
S’il s’agit d’une ou plusieurs personnes que vous vouvoyez, et si les sujets sont plusieurs, il semble logique d’accorder au pluriel :
Nous sommes amicalement vôtres.
Pour la petite histoire, je donne un atelier de formation autour des « alicaments » (les aliments qui nous soignent) que j’ai intitulé « Alicaments vôtres« .