Ce genre de doute est récurrent avec les compléments dont on n’entend pas l’article. Dans l’immense majorité des cas (et sauf contresens sémantique bien entendu) c’est alors le singulier qui convient car le pluriel est un marquage spécifique des mots. Autrement dit, comme le pluriel ne s’entend en général pas (sauf les mots en -al ou -ail, des exceptions), il faut le souligner par l’article. C’est ce qu’on appelle le « singulier générique », de la même manière que le masculin est générique et que le féminin se marque spécifiquement. Cela n’est pas de la grammaire scolaire ou académique, c’est de la linguistique.
Ici, les deux graphies possibles sont donc :
–à hauteur d’épaule ;
– à (la) hauteur des épaules.
Si vous appliquez ce principe, vous vous épargnerez de nombreuses migraines.

C’est curieux cette tournure, je ne la connais pas, mais vous avouerez qu’il est étonnant de dire « hauteur » pour parler de « longueur » ?…

L’Académie dit ceci :
Loc. À hauteur d’homme, à un niveau correspondant à la taille moyenne d’un homme. La sonnette a été placée à hauteur d’homme. À hauteur d’appui

Je me dis, donc, que ce qui pourrait être placé à hauteur d’épaule serait par exemple une sonnette, mais pas vraiment des cheveux…
Personnellement, je dirais plutôt :
Elle porte des cheveux longs jusqu’aux épaules
Ses cheveux lui arrivent à l’épaule / aux épaules

Merci pour vos deux réponses très instructives. Je suis assez d’accord pour ne pas employer hauteur mais longueur.