Bonjour,
Votre soeur a raison. En utilisant la première personne du pluriel, on se rend compte qu’il s’agit bien d’un futur antérieur qui doit être utilisé.
Le futur antérieur sert à marquer l’aspect accompli, terminé d’un événement futur à un moment déterminé, ici à votre retour.
À votre retour, j’espère que j’aurai terminé la tâche X.
Le conditionnel passé aurait été utilisé avec un verbe au passé.
J’espérais qu’à votre retour j’aurais terminé la tâche X.

Après le verbe « espérer » on attend l’indicatif. Cela tient à l’étymologie espérer a d’abord signifié : « considérer comme devant se réaliser », or, le mode du réel est l’indicatif.
Donc :  à votre retour, j’espère que j’aurai terminé la tâche
Cet emploi systématique de l’indicatif qui a été conservé après « espérer »  confère à l’expression l’idée d’une confiance en la réalisation qu’on ne trouve pas après le verbe souhaiter par exemple.

Le verbe souhaiter lui, attend le subjonctif, mode, non de l’irréel, mais de la subjectivité (pour aller vite).
>> à votre retour je souhaite que vous ayez terminé
Le fait de « avoir terminé  » n’est pas ici considéré comme effectif. Il est présenté comme étant virtuel.
Remarque : ce n’est pas une hypothèse qui s’exprime avec espérer et souhaiter mais un état d’esprit qui envisage et désire une réalisation.

À noter que les majuscules doivent être accentuées, sinon cela constitue une faute d’orthographe.
« A » sans accent est la troisième personne de l’indicatif présent de l’auxiliaire avoir. Autrement dit, c’est un verbe.
« À » avec accent est une préposition.
Le distinguo est important :
À votre retour, j’espère que j’aurai terminé mes tâches

Rien ne permet le conditionnel dans votre phrase. Écrivez :
– À votre retour, j’espère que j’aurai terminé la tâche X.

Votre sœur a tort, le futur grammatical appliqué à un verbe ne suffit pas à affirmer que ça va se réaliser : un jour tout ira bien (alors qu’on sait bien que non, désolée de vous l’apprendre). Les modes (conditionnel, subjonctif, ou indicatif) ne se choississent jamais en fonction de la réalité. Ce n’est en aucun cas la réalité future (que par ailleurs personne ne connaît) mais c’est la personne qui parle, et l’intention de la personne qui parle, qui imposent tel ou tel mode dans la subordonnée.
Votre sœur a à nouveau tort, car un conditionnel n’exprime pas une condition, il exprime la conséquence d’une condition remplie : si je pouvais (condition), je ferais (conséquence).
Oubliez aussi toutes les réponses que vous avez lues sur ce site (dans des centaines de réponses, Tara et joelle expliquent méthodiquement que le conditionnel et le subjonctif expriment l’incertitude ou l’hypothèse, voire un degré d’incertitude, c’est totalement faux et idiot, il faudra un jour supprimer ces centaines de réponses). Oubliez enfin tout ce que vous avez lu ailleurs qui puisse correler un mode grammatical avec la probabilité d’une hypothèse.

Le verbe « espérer » est un verbe qui se construit comme un verbe de constat :
— Il va ou non se passer une chose.
— Il viendra, ou il ne viendra pas.
–> J’espère qu’il viendra, j’espère qu’il ne viendra pas.

Par ailleurs (mais ce n’est pas votre question), il arrive qu’on construise la subordonnée complétive suivant le verbe « espérer » comme avec le verbe « souhaiter », impliquant davantage l’intention du locuteur, c’est-à-dire au subjonctif (même différence qu’entre « je veux qu’il vienne » et « je crois qu’il viendra »). On rencontre ces constructions, mais elles sont encore réputées fautives.

Écrivez :
— À votre retour, j’espère que j’aurai terminé la tâche X.