Joëlle a raison. Le TLF classe chose comme mot invariable lorsqu’il est : En emploi anaphorique, souvent avec un adjectif. démonstratif et, de ce fait, en concurrence avec un pronom démonstratif neutre (cf. ce, ceci, cela)]
C’est bien le cas ici : 
La seule chose qu’ils ont réussi à faire, c’est se disputer. l’ensemble a valeur de « ce » pronom neutre :
Ce qu’ils ont réussi….

La seule chose qu’ils ont réussi à faire, c’est se disputer.
Réussi : règle du PP suivi d’un infinitif et d’une préposition ; « la seule chose » n’est pas le COD de réussir, ils ont réussi quoi ? à faire une chose.
Personnellement, je n’accorderais pas.

Le genre de la seule chose n’importe évidemment pas, on cherche simplement de quel verbe ce groupe nominal est COD, Tara mélange tout.
Et d’ailleurs, si le genre importait, ce serait du féminin (la seule chose que j’aie réussie), Tara mélange tout.
Puisque « la seule chose que » est ici clairement COD de « faire » et non de « réussi », le participe passé « réussi » n’est pas concerné par un éventuel accord, et il est donc invariable.
Il y a des cas proches où on peut hésiter, et c’est alors à l’auteur de décider :
— la seule chose qu’ils ont trouvée à faire
— la seule chose qu’ils ont trouvé à faire