Hello, pour ma part je pense qu’académie ne prend pas de majuscule car c’est un organisme, Bordeaux en prend une puisque c’est une ville et recteur pour moi n’en prend pas car  c’est une fonction civile ça ne devrait pas en prendre donc je dirais « le recteur de l’académie de Bordeaux » 🙂

Hors la majuscule en tête de phrase  (quel que soit le mot) et les noms propres, la majuscule ne s’applique, dans les contextes que vous prenez en exemple, que dans les cas suivants :
– organisme suivi d’un déterminant : uniquement s’il est unique à l’échelle nationale. Donc, une cour d’appel, mais la Cour de cassation, le conseil régional de l’Ain, mais le Conseil constitutionnel. Pour les « académies », même principe de base: l’académie de Bordeaux mais l’Académie des Sciences. Absolument, seule l’Académie française a droit au mot seul sans déterminant. De plus, il y une subtilité avec les  académies « privées » qui gardent la minuscule : l’académie Goncourt ou Ronsard.
– titre suivi d’un déterminant : très généralement en minuscule. Donc, le recteur de … Absolument, la majuscule s’applique uniquement pour les cas sans ambiguïté dans leur contexte : l‘Empereur (Napoléon 1er), le Président (de la République).

Référence principale : Lexique des règles typographiques en usage à l’Imprimerie nationale.

Lorsqu’il s’agit de noms d’institutions et d’organismes qui sont uniques à l’échelon mondial ou national, la majuscule s’impose au premier mot : l’Assemblée nationale (et non l’Assemblée « Nationale »),  le Conseil de sêcurité de l’ONU, le Parlement, le Sénat, la Cour de cassation (mais la cour d’appel), l’Ecole polytechnique, l’Acacadémie française, etc.
Malgré ce que l’on rencontre trop souvent, la désignation des organes ou institutions qui ne sont pas uniques ne prend pas de majuscule : la cour d’appel, la cour d’assises, le tribunal de grande instance, le conseil général, etc.
Dans les noms d’écoles et autres institutions, il est fréquent de faire l’éllipse du nom générique, la majuscule est alors transférée au mot qui suit : les Mines (École des mines), Normale (École normale supérieure), Polytechnique, etc.
De la même façon, pour des personnes occupant une fonction civile ou religieuse plus ou moins prestigieuse, on ne doit pas employer la majuscule, mais la minuscule, c’est le terme qui les caractérise qui prend la majuscule : le président de la République, le président–directeur–général, le ministre de l’Éducation nationale, le docteur B…, etc.
En revanche, si l’on s’adresse par écrit à ces personnes, le titre, le grade ou la fonction prennent une majuscule (dans tout le corps de la lettre) : Monsieur le Ministre de La Défense, Monsieur le Président de la République, Monsieur l’Inspecteur d’Académie, etc.
On met une majuscule à l’adjectif dans le groupe de mots « Premier ministre ».
Dans les textes officiels, on met une majuscule pour désigner le « Président de la République ».

En conclusion, mettre la majuscule si nécessaire et ne pas en abuser (on rencontre trop souvent des « le Président du Comité des Fêtes » où la majuscule est d’autant plus grande que le comité est plus petit)