leur conversation : au singulier s’il y en a une et
leurs conversations : au pluriel s’il y a plusieurs conversations.
Leur indique que le possesseur est pluriel (plusieurs personnes) mais la chose possédée peut être au singulier.
Par exemple, les Français s’inquiètent pour leur santé (la santé des Français : la leur).

Ne confondez pas
– leur/leurs : déterminant possessif qui porte la marque du singulier ou du pluriel du possédé
Il fonctionne comme mon ou ma /mes – ton ou ta / tes – son ou sa / ses – notre /nos – votre /vos

– leur pronom, invariable puisqu’il est pronom 3e personne du pluriel – ce pronom change à chaque personne :
Elle leur parle / elle lui parle /elle me parle / elle te parle / elle nous parle / elle vous parle

Choisissez le singulier « leur » si vous pouvez remplacer par « notre » :
— Je vais vous raconter notre conversation.
— Je vais vous raconter leur conversation.
Choisissez le pluriel « leurs » si vous pouvez remplacer par « nos »,
— Je vais vous raconter nos conversations.
— Je vais vous raconter leurs conversations.