Le sujet est « leur maman qui », il faut donc « travaille » au singulier.

Si on parle d’une seule mère, c’est bien sûr le singulier qui convient :  Il n’y a que leur mère qui travaille (dans cette fratrie).

Si on parle de plusieurs mère, le singulier et le pluriel sont possibles :

Il n’y a que leur mère = dans ces différentes familles, seule la mère travaille.
Il n’y a que leurs mères = les mères de ces différentes familles sont les seules à travailler.

Le problème avec le singulier, c’est qu’il va entrainer un accord sylleptique : l’antécédent est au singulier (leur mère), le pronom relatif (qui) et donc le verbe dont il est le sujet au pluriel :
Il n’y a que leur mère qui travaillent.

Il est donc préférable d’opter pour le pluriel :
Il n’y a que leurs mères qui travaillent.

1. Conjugaison du verbe.
–> Selon le sujet.
« Il y a que… qui… » n’existe pas. Écrivez « il n’y a que… qui…« . C’est une négation introduisant une exception. L’exception présentée dans la proposition relative se conjugue plutôt au subjonctif, et son sujet est formellement le pronom « qui« , pronom qui a le genre et le nombre de son antécédent.
— Il n’y a que leur père qui puisse travailler
— Il n’y a que leurs mères qui soient prêtes à travailler

2. Choix du sujet.
— leur mère travaille ou leurs mères travaillent ?
Vu de l’extérieur, pour parler de plusieurs mères, c’est bien le pluriel qu’il faut utiliser :
— leurs mères travaillent…
C’est seulement en considérant le rapport de chaque enfant avec chaque mère qu’on utilise le singulier :
— ceux dont la mère travaille… ; ils savent tous que leur mère travaille…

3. Tout dépendra donc de votre phrase complète :
* Construction au pluriel, vue de l’extérieur :
— Ces enfants sont pauvres, car dans ce quartier il n’y a que leurs mères qui travaillent.
* Construction réfléchie au singulier :
— Ces enfants sont pauvres, car dans leur foyer il n’y a que leur mère qui travaille.