Bonjour,
Il y a deux sites à Lyon qui peuvent correspondre à votre demande, soit une partie du Parc de la Tête d’or qui constitue le jardin des plantes actuellement actif et dont la dénomination propre est le « Jardin botanique du Parc de la Tête d’Or »,  soit le site historique au bas de la Croix-Rousse, un parc qui a conservé le nom de « Jardin des Plantes » avec deux majuscules comme à Paris (en effet comme il a perdu sa fonction de jardin des plantes de Lyon,  il n’en conserve plus que le nom en propre).

D’une manière générale, si vous évoquez la fonctionnalité professionnelle des lieux,  vous ne mettrez aucune majuscule : ce sont des jardins botaniques, des jardins des plantes…, si vous évoquez  la fonctionnalité urbaine, la majuscule ne porte alors que sur le complément de nom : le parc de la Tête d’or, le jardin des Plantes, la rue Gambetta…, si vous citez le toponyme dans son intégralité officielle, vous mettrez une majuscule également au premier nom s’agissant de sites emblématiques à caractère unique (sur ce dernier point, les Parisiens ne seront peut-être pas d’accord avec les Lyonnais !). 

Le jardin de Lyon dont vous parlez s’appelle Parc de la Tête d’Or. A l’intérieur existe, entre autres,  un jardin botanique ou jardin des plantes. Ici il ne s’agit pas d’un nom propre. Pas de majuscules donc.

Sur ces deux réponses, vous donnez tous deux des orthographes différentes pour le Parc de la Tête d’Or/or !! J’ai compris pour le jardin des plantes, aucune majuscule, merci !