Précisons d’abord que ces formes des verbes être et avoir peuvent se rencontrer pour le verbe lui-même (isolé) ou dans les constructions où ils sont auxiliaires (temps composés d’autres verbes). Il y a des pages entières sur ce sujet que je ne détaillerai pas ici. Les nuances ne se rencontrent pas dans la vie courante et peuvent faire l’objet de questions plus précises.

Le moyen mnémotechnique le plus simple semble de leur substituer un autre temps soit de l’indicatif, soit du conditionnel. Voici des exemples pour les temps simples :
– Fût-il ou fut-il ? :  Fût-il un dieu, il ne pourrait l’accomplir. On peut remplacer par le conditionnel (serait-il un dieu, il…), donc subjonctif. L’indicatif n’a pas de sens.
Mais : Fut-il un dieu, ça, je ne le sais pas… On peut remplacer par l’indicatif imparfait (était-il un dieu, ça..), donc indicatif. Le conditionnel ne colle pas.
– Eût-il ou eut-il ? :  Eût-il  le courage qu’il faut, il ne doit pas y aller. Seul aurait-il le courage qu’il faut, il ne doit pas y aller  convient. Donc subjonctif…
Mais : Eut-il  le courage  qu’il  faut, ça je ne le sais pas… On peut remplacer par l’indicatif imparfait (avait-il le courage qu’il faut,,,.), donc indicatif.
Il est d’ailleurs à noter que la désaffection actuelle pour le subjonctif entraîne souvent l’usage du conditionnel dans ces cas, ce qui personnellement ne me choque pas.

Le même mécanisme vaut pour les verbes en auxiliaires, dans les temps composés. Mais il serait peut-être plus futile  qu’utile de multiplier les exemples…

Eut (fut aussi) est la 3ème personne du passé simple et eût (comme fût) est la 3ème personne de l’imparfait du subjonctif.

Il faut écrire eut et fut, sans accent quand on peut dire au pluriel : eurent et furent.
ex : Quand il eut fini son travail, il partit. ( quand ils eurent fini….)
Quand il eut son diplôme, il trouva du travail.

Il faut écrire eût et fût avec accent quand on peut dire au pluriel : eussent ou fussent.
ex : Qu’on eût accusé sa mère, il l’aurait défendue. (Qu’ils eussent accusé .. ou ils auraient accusé …)

L’élève se taisait, bien qu’il eût préféré s’exprimer. (qu’ils eussent)

Il faut bien connaître l’emploi des deux et se souvenir que le subjonctif est introduit par « que » donc dans une subordonnée après certains verbes exprimant le souhait, le doute, la possibilité.

Rappel : 
– le passé simple : ‘Il eut’ (avoir)- ‘Il fut’ (être) et le passé antérieur ‘Il eut eu’ (avoir) ‘ Il eut été’ (être) ou ‘Il eut/il fut + pp (du verbe à conjuguer)’
– le subjonctif imparfait : ‘ Qu’il eût’ (avoir) – ‘Qu’il fût’ (être) et le subjonctif plus-que-parfait : ‘Qu’il eût eu'(avoir) – ‘Qu’il eût été'(être) ou ‘Qu’il eût/ qu’il fût + pp (du verbe à conjuguer)’

Excellent ! Merci.