On dit les deux mais le sens est très différent :
Je voudrais changer de groupe : je voudrais faire partie d’un autre groupe que celui où je suis.
Je voudrais changer le groupe : je voudrais rendre le groupe différent de ce qu’il est.
A vous de voir ce que vous voulez dire.

« Changer le groupe » n’existe pas, ne signifie rien.