Vous proposez deux phrases qui ont le même sens mais sont construites différemment.

1 je suis tombé sur ces chaussettes qui m’ont été offertes par des collègues.
dans cette phrase on subordonne b) à a)
a) Je suis tombé sur ces chaussettes
b) ces chaussettes m’ont été offertes par des collègues  (forme passive)
et on remplace le nom « chaussettes » de b) par le pronom relatif « qui » parce qu’il est sujet

2 je suis tombé sur ces chaussettes que m’ont offertes des collègues dans cette phrase on subordonne b) à a)
a) je suis tombé sur ces chaussettes
b) des collègues m’ont  offert ces chaussettes (forme active)
et on remplace le nom « chaussettes » de b) par le pronom relatif « que » parce qu’il est COD

La seule différence entre ces deux phrases 1 et 2 est que la proposition subordonnée est de forme passive en 1 et de forme active en 2
dans les deux cas le PP s’accorde avec le pronom relatif (féminin pluriel) parce que accompagné de l’auxiliaire être en 1 il y a accord avec le sujet, et parce que, accompagné de l’auxiliaire avoir en 2 il y a accord avec le COD placé avant/

« en cherchant un pull, je suis tombé sur ses chaussettes qui m’ont été offertes par des collègues. »
L’accord avec « qui », pronom sujet mis pour « chaussettes » est bon. A la voix passive, le participe passé du verbe principal s’accorde avec le sujet puisqu’on utilise l’auxiliaire « être ».
En revanche, les chaussettes sont à vous, donc « ses » n’est pas possible. Peut-être vouliez-vous parler de « ces chaussettes », celles dont il est question ?
« en cherchant un pull, je suis tombé sur ses chaussettes que m’avaient offert des collègues »
L’accord avec « que », pronom mis pour « chaussettes », cod antéposé, n’est pas bon. Il faut aussi accorder et écrire « offertes ».
« en cherchant un pull, je suis tombé sur les chaussettes que m’avaient offertes des collègues »
Cdlt

« en cherchant un pull, je suis tombé sur … chaussettes qui m’ont été offertes par des collègues. »

Qu’est-ce qu’on peut mettre à la place des trois points ? Mes ou des ou les. Pas ses (les siennes).

Merci pour vos réponses, j’y vois plus clair.

Effectivement je vous écrire « Ces chaussettes » dans les deux cas, fichu correcteur automatique.

@Tara, pourriez-vous m’expliquer pourquoi « que/qui » est le COD et non pas « ces chaussettes » ?
Je me pose la question : je suis tombé sur quoi ? sur ces chaussettes.

– « que » est un pronom relatif, qui introduit une proposition relative, et, comme tous les « pro-noms » (pour le nom), il « remplace » un nom. Ici, « que » remplace chaussettes.
C’est un COD car il complète le verbe offrir de la proposition relative « que m’ont offertes mes collègues ». Mes collègues m’ont offert « quoi ? » –> « que », c’est-à-dire « ces chaussettes ».
Dans « tomber sur », « ces chaussettes » est précédé de la préposition « sur », ce qui fait de « chaussettes » un COI (Indirect car présence d’une préposition entre le verbe et le complément d’objet).
Je suis tombé « sur quoi ? » appelle un COI
J’ai acheté « quoi ? » appelle un COD (Direct car pas de préposition).

– « qui » est un pronom sujet, pas COD. Il remplace aussi « chaussettes », dans votre 1re phrase, mais n’a pas le même rôle.

Cdlt

Bonjour, merci pour vos réponses.

Si dans la phrase «en cherchant un pull, je suis tombé sur ces chaussettes que m’avaient offertes des collègues », que est le COD complément du verbe offrir, quelles sont la natures et la fonction de ces chaussettes ?

Et, si j’ai bien compris, dans la phrase « en cherchant un pull, je suis tombé sur ces chaussettes qui m’ont été offertes par des collègues. » cette fois-ci ces chaussettes deviennent un COI (quelle est sa fonction d’ailleurs ?), et qui devient un pronom sujet.

Suivant le principe de la première phrase, j’aurais eu tendance pour la seconde à ré utiliser la question : on m’a offert quoi ? qui
C’est visiblement faux mais quel moyen (simple si possible) puis-je utiliser pour savoir quand est-ce qu’un pronom devient un COD ou un pronom sujet ?

Dans la même veine « Qu’as-tu acheté ? », est-ce que dans cette phrase qu’ est un COD complément du verbe acheter ?

Cordialement

« Suivant le principe de la première phrase, j’aurais eu tendance pour la seconde à ré utiliser la question : on m’a offert quoi ? qui »

Dans la 1re phrase « qui m’ont été offertes par des collègues. », la question sera « qu’est-ce qui m’a été offert par des collègues ? », c’est-à-dire une question qui permet de trouver le sujet, ici d’une phrase à la voix passive. Réponse : « qui », pronom sujet mis pour chaussettes.
Dans la 2e phrase « que m’avaient offertes des collègues », la question sera « que m’avaient offert des collègues ? », c’est-à-dire une question qui permet de trouver le COD, à la voix active. Réponse : « que », pronom COD mis pour chaussettes.
En conclusion, pour trouver un sujet, question « qu’est qui ? ou qui est-ce qui ? » + verbe conjugué de la phrase
pour trouver un COD,  sujet + verbe conjugué + question « quoi ? ou qui ? « 
Ex : le chat mange la souris  (voix active)
qui est-ce qui mange la souris ? –> le chat , c’est le sujet
le chat mange quoi ? –> la souris , c’est le COD
Ex : la souris est mangée par le chat (voix passive)
qu’est-ce qui est mangé par le chat ? –> la souris , c’est le sujet
Pas de COD à la voix passive puisqu’il est devenu sujet.

Cdlt