Les prépositions « de » et « à » ont des sens différents :
Les paroles de Jean à son ami étaient apaisantes.
de : qui appartiennent qui viennent de
à : adressées à, dirigées vers

> les déclarations de la presse : c’est la presse qui fait des déclarations
les déclarations de presse : sans déterminant à presse , il ne s’agit plus d’une presse précise mais d’un type de déclarations
> les déclarations à la presse : c’est quelqu’un qui fait des déclarations à la presse

A vous de voir ce que vous voulez dire.

Les deux sont possibles, sans différences de sens.

Déclaration (communiqué) de presse équivaut à déclaration (communiqué) à la presse. Puisque les compléments du nom sont synonymes : ils indiquent le destinataire.

(Pour la peut-être différence entre déclaration de presse et communiqué de presse, voir ici :

Il existe une différence subtile entre une déclaration et un communiqué de presse […]. Un communiqué de presse est généralement utilisé pour communiquer de nouvelles informations telles que des annonces ou des actualisations. Les communiqués de presse sont également utiles pour transmettre certaines informations comme des statistiques, des listes de candidats ou des listes de bureaux de vote. Une déclaration de presse est employée pour réagir à un événement.)

Oui,

Il existe une formulation : un communiqué de presse

Je ne vois pas très bien ce que signifierait « déclaration de presse « . 
Tout dépend du contexte, mais on peut dire par exemple « faire une importante déclaration à la presse« .

On dira aussi « vous avez déclaré aux journalistes / on retrouve vos déclarations dans la presse écrite nationale / vous avez déclaré sur telle chaîne de radio / dans telle émission, …

Quelques précisions : 

Communiqué de presse : Texte remis par un organisme public ou privé aux représentants de la presse parlée ou écrite afin qu’il soit porté, sans modification, à la connaissance du public.

Conférence de presse : Réunion au cours de laquelle une personnalité fait un exposé devant des journalistes et répond à leurs questions. 

Déclaration à la presse

Une déclaration de presse, cela  n’existe pas.
Une déclaration à la presse est une déclaration faite à la presse.