Le PP avec l’auxiliaire « être » s’accorde avec le sujet.
Question à se poser : qu’est-ce qui est donné ?
Ici c’est la boisson qui est donnée.

À noter qu’il ne faut pas confondre « leur » pronom personnel (pluriel de lui) qui est invariable, et « leurs » déterminant possessif (pluriel de « ses »).
Cette boisson qui leur est donnée. 

Merci Cathy pour le rappel de la règle,.
Je me permets une seconde question, pour l’auxiliaire « avoir » doit-on également se poser la question de l’objet cod (quoi?) ou coi avec la question (qui)?
exemple : «la veuve qu’on avait rencontré? »

Rencontrée car c’est la veuve qu’on avait rencontré et la veuve est placée avant le verbe mais c’est un coi pas un cod?

Je confonds ça aussi si vous pouvez m’éclairer en vous remerciant énormément pour votre aide si précieuse.

Tapioka,

Avec l’auxiliaire « avoir » en effet le PP s’accorde avec le COD s’il est placé avant le verbe.

Le COD répond à la question « qui / quoi ? ».
Sinon, il s’agira d’un COI.

On a rencontré qui ? (C’est bien un COD qui répond à cette question) –> « Qu‘ » placé avant le verbe et qui renvoie à la veuve, donc on accorde au féminin singulier :
La veuve qu’on a rencontrée. / Les boxeurs que nous avons battus

Cas où l’on a un COI :
La veuve à qui on a parlé. / Les boxeurs contre lesquels nous avons combattu
On a parlé à qui ? À la veuve, COI, pas d’accord.
Nous avons combattu contre qui ? Les boxeurs COI, pas d’accord.

Une explication peut-être un peu longue mais nécessaire me semble-t-il :

Un nom peut être complété par un adjectif, un nom (ou un GN) et une proposition (relative).
J’ai jeté le verre ciselé/ en cristal / que tu as cassé
En ce dernier cas, pour éviter sa répétition on utilise un pronom (relatif signifie « qui relie »).
—-
que tu as cassé = tu as cassé ce verre ==> « que » remplace donc « verre » et  est COD du verbe « casser ».
J’ai jeté le verre qui était sur la table
qui était sur la table  = ce verre était sur la table : « qui » est sujet du verbe « casser »

Le pronom relatif peut donc avoir différentes fonctions et sa forme change  : que = COD, qui = sujet, à que/à qui = COI, où = complément circonstanciel de lieu, dont = complément introduit par « de », etc.
—-
Votre phrase :
Ils ont de graves problèmes de santé liés à cette boisson qui leur est donnée
qui leur est donnée est proposition subordonnée relative qui complète le nom « boisson ». (« qui » remplace « boisson » pour éviter la répétition  :  cette boisson leur est donnée)
règle du participe passé : l’auxiliaire est « être » : on accorde avec le sujet qui est ici « qui » féminin singulier.

Merci à vous deux c’est très intéressant la partie du pronom vient m’aider à comprendre cette règle.

Je prends un exemple pour tenter d’illustrer votre message.

«La consolidation autour du soutien à Tara qui avait fonctionné dans les premières semaines de son arrivée. »

Ici par exemple le pronom relatif QUI = la consolidation autour du soutien à Tara donc ce n’est pas un cod on ne doit pas se poser la question qu’est ce qui a fonctionné ?  avant j’aurai pensé le cod est placé avant l’auxilliaire avoir donc j’aurai écrit fonctionnée car (la consolidation est féminin ) mais si je comprends bien ici c’est pas un cod mais un pronom donc c’est le sujet donc je n’accorde pas c’est bien ça ?

Tapioka,

Pour ce qui est de votre troisième question, où vous donnez comme phrase « La consolidation qui avait fonctionné », il y a un petit problème dans votre raisonnement :
En premier lieu, « Fonctionner » est un verbe intransitif, c’est-à-dire qu’il ne peut pas avoir de COD. On ne peut pas dire « il a fonctionné qui / quoi ?« .
De plus, « La consolidation » est ici sujet du verbe « fonctionner ».

Je vais vous donner des exemples plus parlants :
L’histoire dont je t’ai parlé –> je t’ai parlé de quoi ? (verbe intransitif) PP invariable
L’histoire que je t’ai racontée –> je t’ai raconté quoi ? PP s’accorde au féminin-singulier (histoire)

Est-ce que c’est plus clair pour vous ?