Bonjour Totoro,

C’est un  phénomène fréquent qui ne concerne que le pronom de la troisième personne (on ne dira pas : « Elle prend le dossier et me / te / nous / vous tend »), et qui est dû à une difficulté de prononciation (cf. ci-dessous « haplologie »), mais qu’on retrouve également à l’écrit. Extrait du Bon Usage :
« Par un phénomène d’haplologie, certains pronoms disparaissent d’une manière formelle, sans que pourtant « le signifié » dont ils sont porteurs soit absent de la communication. Dans la langue parlée, le, la, les s’effacent très souvent devant lui, leur. Ce phénomène apparaît parfois par écrit, même en dehors de la reproduction de conversations courantes. »

Eh bien non. Ce n’est pas correct. Selon la grammaire normative, le COD doit être  exprimé dans la deuxième proposition sous la forme d’un pronom. Chaque proposition d’une phrase a sa propre autonomie.
A l’oral, en effet, on peut entendre cela, parfois. C’est la particularité de l’oral de faire des entorses aux règles. Elles sont parfois ressenties comme des incorrections, parfois, elles ne sont pas remarquées par le plus grand nombre.
C’est sans doute ainsi que la langue évolue. Un autre exemple : à l’oral il est très fréquent que la règle du participe passé ne soit pas respectée, même par des locuteurs qui maîtrisent la langue.

Pour cette ellipse du pronom : à déconseiller même à l’oral.

Je ne trouve pas le passage du B.U.