Papa – nom commun, sans majuscule – est le mot utilisé pour s’adresser à son père. Autrement (sous peine d’infantilisme), employer le mot père : le père de Léo.

On met une majuscule que ce soit ou pas le sien, par respect.

Dans le cas que vous citez, il ne faut pas de majuscule car il s’agit d’un nom commun. L’article « le » papa de Léo, le montre.
Quand le nom est nom d’adresse (quand on s’adresse à la personne concernée) il est recommandé d’en mettre une. C’est vrai comme pour « Monsieur » ou « Maître » utilisés par exemple en formule d’appel dans une lettre.