Les deux s’utilisent couramment. Je préfère le point.

Oui. J’ai plus souvent vu les barres obliques {slash} sur les documents. Et pour encore plus abréger, on peut directement mettre les deux derniers chiffres de l’année.

Drôle d’époque que celle où l’on n’a de cesse de tout abréger, sans doute pour arriver plus tôt au bout de sa souffrance à écrire. Pourquoi écrire son propre nom en entier? Employons un matricule, c’est plus court…
En français, dans un texte rédigé (j’insiste), le principe est de ne pas utiliser d’abréviation pour le mois : Le 12 juin 2022 n’est pas un jour faste.  Le quantième et l’année, sous forme de chiffres, sont déjà des abréviations et cela suffit bien. Même les historiens utilisent cette typographie respectueuse du lecteur, dix fois par page s’il le faut.
Seule une contrainte « technique »  peut justifier de l’emploi de formats spéciaux codifiés (points, tirets, barres de fraction) : présentation en tableau ou cartographie historique (question de place), date servant de formules de calcul, langage informatique.
Rappelons aussi que nous vivons dans un monde marqué par les habitudes anglo-saxonnes qui inversent quantième et mois.  Le risque de confusion est grand et a déjà causé des erreurs (le 9/11, c’est bien le 11 septembre, n’est ce pas ?).
Pour d’autres détails, voir Orthotypographie de Jean-Pierre Lacroux.