Bonsoir Sandrine,

Il n’y a rien qui t’oblige à mettre une apostrophe (‘) à la fin  d’un prénom ou d’un nom pour former un diminutif : Patrick ==> Pat.

Lorsqu’on raccourcit un nom commun, cela ne s’appelle pas un diminutif.
On appelle « diminutif », certains suffixes comme -et/-ette ou -on, par exemple (il en existe d’autres) : une fille/une fillette – un e cabane/un cabanon

Si on enlève à un nom une ou plusieurs syllabes, on parle d’abréviation.
En ce cas, il faut un point à la fin du mot, sauf si l’abréviation est complètement lexicalisée. Ainsi on dira : viens prendre ton petit déj.  – Mon coloc. est parti – mais je vais au cinéma (au lieu de cinématographe) ou je viens en auto (pour automobile)

L’apostrophe marque l’élision des voyelles finales a et e de certains mots, et i pour ce qui est de la conjonction si suivie du pronom il. L’élision se fait lorsque ces mots sont suivis d’un mot commençant par une voyelle ou un h muet. Ainsi on a : la + apostrophe → l’apostrophe, le + oiseau → l’oiseau, si + il → s’il, que + elle/il → qu’elle/qu’il, presque + île → presqu’île, le + homme → l’homme, le + hôtel → l’hôtel, le + hôpital → l’hôpital. Dans le langage populaire, […] tu es → t’es en langage familier. L’élision peut aussi porter sur une partie du mot, en particulier pour restituer certaines prononciations populaires défectueuses. Par exemple pauvre con → pauv’ con.

En ce qui concerne les prénoms, c’est différent, le prénom abrégé tenant lieu de surnom il s’écrit sans signe particulier. Pat – Nat – Ray – Léo – Lou – Max  Tom …