Le futur est correct si le fait de contacter doit se réaliser dans le futur de l’énonciateur de la phrase.
Exemple : Nous sommes le 20 octobre : Je lui ai dit le 17 octobre  que le  24 octobre je le contacterai
Le futur du passé est  correct si le fait de contacter devait se réaliser dans le futur de la situation passée où a lieu « je lui ai dit », c’est à dire dans le passé de l’énonciateur de la phrase
Exemple :Nous sommes le 20 octobre : Je lui ai dit le 17 octobre  que le 19 octobre je le contacterais

—
Il y a une autre possibilité :
Le fait de contacter la personne n’est qu’une possibilité (normalement il y a d’autres signes dans la phrase) :
On utilise alors le conditionnel  :
Je lui ai dit que je le contacterais peut-être/si ceci ou cela.au cas où …

—
Remarques :
– Le futur du passé et le conditionnel ont la même forme.
– en changeant de personne (pour éviter homophonie des formes verbales) on entend les différences :
Il lui a dit qu’il le contactera demain
Il lui a dit qu’il le contacterait le lendemain
Il lui a dit qu’il le contacterait si c’était possible

—-
Il vous reste à choisir selon le contexte.
Sinon, le reste de la phrase est correct. L’infinitif passé « après avoir demandé » indique bien  l’antériorité par rapport à  « contacterai /contacterais ».

Il y a donc contradiction avec le conditionnel, car après que n’indique aucun doute.
Pas d’S!