Bonsoir,

Le Grand Robert ne met pas « show-business » en italique. 

« Businessman » est un » mot anglais » nous dit ce dictionnaire.

Je ne le mettrais pas en italique (ou entre guillemets).

On peut dire à la place  notamment : des hommes/femmes d’affaires. 

L’emploi de l’italique est un outil typographique et non orthographique : n’attendez donc jamais des dictionnaires (et de celui de l’Académie en particulier) qu’il vous donnent un début de solution. Ces ouvrages listent les caractères pour écrire un mot, pas les signes qui les matérialisent sur un support.
L’usage de l’italique est donc contextuel : vous l’utilisez si vous attirez l’attention du lecteur sur ce qui n’est pas commun dans le contexte d’un écrit : emprunts étrangers, mais aussi néologismes, créations diverses, etc.
Le même mot  show-business peut donc se retrouver en romain dans un texte sur le sujet mais en italique dans un texte où il détonne, éventuellement assorti de sa définition entre parenthèses s’il n’est pas clair.
Il faut savoir que les dictionnaires ont renoncé à franciser les mots étrangers, notamment pour la prononciation : si l’on ne connait pas l’anglais e-mail, comment le prononce-t-on ? Auparavant, on francisait complètement : l’anglais riding-coat est devenu redingote et le latin referendum (prononcé -doum, pluriel referenda) est devenu référendum (pluriel référendums).
Pour  la capitale chinoise, vous écrirez Pékin mais Beijing, stupide transcription anglaise de la graphie pinyin ( 拼音) dans la quelle le son P  se graphie B.
Si vous écoutez les médias (mot francisé) vous remarquerez la confusion grotesque des journalistes pour qualifier les lands (nom francisé et accordé) allemands (unité administrative Land qui donne Länder au pluriel, mot que les journalistes ne savent pas prononcer).
Bref, c’est à vous (au rédacteur) de décider de l’emploi, sans attendre de secours extérieur mais en conservant la cohérence de vos choix…