De rien, Tara.
Bonnes fêtes !

Bonjour,

Si le gentilé (ou ethnonyme ou encore ethnique) se compose de deux éléments non agglutinés, on ne traite pas différemment, du point de vue de la majuscule,  ces éléments : initiale majuscule à chacun.

Voici des références : Albert Doppagne, Majuscules, abréviations, symboles et sigles, Duculot, p. 49. Doppagne  suit cette règle même quand le second composant peut apparaître comme un adjectif. Il écrit en effet les Peaux-Rouges, comme L’Académie française.

Le Bon usage actuel est on ne peut plus clair (§ 99) :
« Quand le gentilé* est formé de deux éléments non soudés, tous les deux prennent la majusc.   : Un Néo-Zélandais. Les Anglo-Saxons. »

Gentilé : nom des habitants ou des natifs d’un continent, d’un pays, d’une région, etc. 

Est-ce que les Gréco-romains ont existé ?
La définition que donne le Larousse de l’adjectif est : relatif à la civilisation née de la rencontre des cultures grecque et latine (de 146 avant J.-C. [conquête de la Grèce par les Romains] à la fin du V^e s. [chute de l’Empire romain d’Occident]).
Toutefois, si l’adjectif est substantivé et désigne un gentilé, il lui faut en effet une majuscule.
Mais je n’en mettrais une qu’au premier terme, considérant le second comme un adjectif.
Attendons d’autre avis.