On emploie plutôt le verbe « laver » pour les cheveux. Le verbe comporte l’idée d’un produit nettoyant, ce qui n’est pas forcément le cas avec le verbe « nettoyer ».

Le futur est en effet un moyen d’atténuer les injonctions et participe donc de la modalité de politesse.
Passez à la salle de bain : impératif – ordre « brut ».
Et puis des gradations dans la politesse
Je vous demande de passer à la salle de bain : on utilise le discours indirect
Je vous demande de bien vouloir passer à la salle de bain : on utilise un verbe modalisateur accompagné d’un adverbe
Je vous demanderai de (bien vouloir) passer à la salle de bain  : on ajoute encore le futur

Le conditionnel ne convient pas; on l’entend bien avec le sujet « nous »: nous vous demanderions de bien vouloir passer à la salle de bain, ou alors il faudrait compléter avec une subordonnée : nous vous demanderions de passer à la salle de bain si vous le voulez bien . Mais cette formulation est quand même un peu trop sophistiquée dans les situations ordinaires.

Je ne justifierais pas le futur par la politesse.

Je vous remercie infiniment, Tara, pour vos réponses détaillées.