Le registre n’est sans doute pas la seule explication.
Je vois une différence de sens, entre « il ne sait pas que faire » et « il ne sait pas quoi faire » :
QUE interroge plutôt sur l’action et QUOI, de façon plus insistante, sur le contenu de l’action.

Et puis :
– Sans doute certaines personnes, qui  ne diraient jamais je ne sais pas que faire, ne sentent peut-être pas la nuance ou n’ont pas vraiment les moyens de l’exprimer
– Certaines personnes utilisent les deux  pour marquer le sens  ou le niveau de langue
– Certains parlers régionaux utilisent « quoi » et non « que », notamment les régions correspondant au franco-provençal.

Joelle
Je ne saisis pas l’analogie que vous faites entre la différence entre Quoi dire ? et Que dire ? et la différence entre Il a dit quoi ? et Qu’a-t-il dit ? Quoi dire : même si on n’y est peu habitué, pourquoi pas finalement ?
Il a dit quoi ? Langage parlé grammaticalement incorrect.

Je n’ai pas saisi le lien entre la question initiale et les phrases interrogatives.

Quoi dire ? Quoi faire ?
Ce n’est pas incorrect grammaticalement, mais il vaut mieux à l’écrit  et pour un meilleur oral « QUE DIRE ? »
Que penser ?

C’est toute la différence entre « il a dit quoi ? » et  » qu’a-t-il dit ? »

Bonjour, je pense comme vous : « quoi » s’utilise peu dans la langue classique et normée en tant que cod.

Comme coi c’est normal : à quoi penses-tu ? tu penses à quoi ?
Comme cod, c’est la place du cod qui joue : que penses-tu ? tu penses quoi ?
Quand il y a inversion cod/sujet,  on dit « que ».
Quand on ne fait pas l’inversion, on dit « quoi ».
Le sens est rigoureusement le même, c’est l’usage et la construction qui font la différence.
La construction classique impose le « que » dans une question avec inversion cod/sujet : qu’en penses-tu ?
La construction courante impose le « quoi » en plaçant le sujet avant le cod : tu en penses quoi ?

Le cas de l’infinitif que vous nous soumettez, puisqu’il n’y a pas de sujet à inverser, amène une nuance sociologique.
L’utilisation du « que » est liée à l’ordre cod – verbe – sujet : Que fais-tu ?
Et dans ce même registre de langue, on dit : Que faire ?
L’utilisation du « quoi » est liée à l’ordre sujet – verbe – cod : Tu fais quoi ?
Et dans ce même registre de langue, on dit : Quoi faire ?

Mettons-que vous écriviez un livre avec des dialogues.
Si le personnage A dit « que fais-tu ? », il devra dire au chapitre suivant « que faire ? ».
Si le personnage B dit « tu fais quoi ? », il devra dire au chapitre suivant « quoi faire ? ».
Utilisez « que » pour un personnage qui sociologiquement inverse le cod et le sujet dans les questions.
Utilisez « quoi » pour un personnage qui sociologiquement met le sujet avant le cod dans les questions.

Inversion entre le sujet et le cod ou pas, vous ne devez chercher aucune nuance sémantique ni syntaxique, mais uniquement une nuance sociologique.

Personnellement je suis vieux, je vis dans un milieu populaire, et je n’ai encore jamais entendu personne faire l’inversion sujet/cod pour me poser une question. On m’a posé mille fois la question « tu en penses quoi ? », on ne m’a jamais posé la question « qu’en penses-tu ? ».
Dans le milieu des gens où on écrit des livres, et dans de rares familles françaises où on place le cod avant le sujet dans une question (qu’en penses-tu ?), on utilise le cod « que » devant l’infinitif. Chez moi (tu en penses quoi ?), on utilise le cod « quoi » devant l’infinitif.

Peut-être n’êtes-vous pas Français ? Alors il est normal que vous ayez surtout lu des textes écrits, avec un « que » littéraire ou scolaire. Mais si vous vivez en France, vous devez savoir que la norme majoritaire est de ne pas faire l’inversion cod/sujet dans une question, et que la conséquence en est qu’on utilise généralement le mot « quoi » devant un infinitif. Quelqu’un qui n’inverse pas le cod et le sujet dans une question n’utilisera jamais « que » devant un infinitif.

La phrase « Quoi dire, quoi faire pour l’aider ? » est juste grammaticalement, exactement dans le même système que la non inversion cod/sujet, elle correspond donc à environ 90% des utilisations orales, et elle a à l’écrit le même niveau de correction sociale que « tu fais quoi ? ».
Cet usage n’est pas déconsidéré par les grammairiens, il est reconnu. Il n’est déconsidéré que par les personnes issues des milieux populaires qui aspirent à rejoindre la classe élitiste, mais ces gens-là c’est de la *** .

Merci beaucoup pour toutes vos réponses.