Les deux sont possibles en fonction du sens : singulier pour exprimer « chaque », pluriel pour exprimer « en », s’il y a plusieurs unités. Si vous choisissez le pluriel ou le singulier, il faut une certaine unité : par famille d’objets, par couleur et par taille. Dans votre phrase, on peut admettre « par=chaque ».

J’ai organisé par familles d’objets, par couleurs et par tailles.
Si vous voulez le singulier :
J »ai organisé par familles d’objets ayant la même couleur ou la même taille

Ah ! Deux réponses différentes. Laquelle prendre en compte ?

Allons, il faut que nous nous mettions d’accord.
Je ne comprends  pas très bien ce qu’écrit Joëlle ( singulier pour exprimer « chaque », pluriel pour exprimer « en », s’il y a plusieurs unités et Dans votre phrase, on peut admettre « par=chaque »).

J’ai organisé par familles d’objets, par couleurs et par tailles.
Nous avons ici 3 « par » . regardons-les de plus près :
Manifestement le premier est différent des deux autres : « familles » inclut « couleurs » et « tailles ».
Pour plus de clarté il eût fallu écrire :
J’ai organisé en familles, classé les objets par couleurs et par tailles.
Il s’agit là d‘une division, d’un partage  d’un ensemble (les objets) et non d’une attribution  à chaque couleur et à chaque taille.
Pour plus de clarté, voyez la différence entre ces deux exemples du Littré :
Il a divisé son livre par chapitres et On paye tant par tête.
Dans la première phrase il y a division d’un tout en parties, dans l’autre, attribution d’une partie d’un tout à des éléments distinctifs.
C’est l’angle de vue qu’on choisit qui détermine l’emploi du pluriel ou du singulier. Dans votre phrase, c’est bien la division du tout en parties qui est considérée.
C’est pourquoi il faut le pluriel : « couleurs » et « tailles ».