En français, l’initiale de la particule est (généralement car il y a des exceptions ou parfois des hésitations) minuscule : le général de Gaulle
En italien, il est d’usage de mettre la majuscule à la particule : Gabriele D’Annunzio.
En France, les particules étrangères gardent la majuscule initiale lorsque c’est l’usage dans leur langue d’origine. Ici donc d’Agostini
Cependant, lorsqu’on parle de plusieurs personnes, la particule disparaît (sauf pour les noms d’une syllabe!) : les Malartic(et non : les de Malartic).
On écrira donc de préférence : la famille  Agostini .
Je pense, étant donné toutes ces nuances, que vous pouvez choisir entre la famille Agostini et la famille D’Agostini.